The number of magic squares of order 6

魔方陣全体の集合を小集合に分けるために、いくつかの用語を定義します。

• n次の魔方列 とは、[1..n²]の範囲のn個の異なる整数からなる集合で、要素の和がn次の魔方和( ( n² + 1 ) * n ) / 2に等しいものです。
  • 例:
    • { 2, 9, 4 } は 3次の魔方列です。
    • { 10, 7, 14, 3 } は 4次の魔方列です。
• 異なる正整数の集合{ a₁, a₂, a₃ … }は値が 2^a₁-1 + 2^a₂-1 + 2^a₃-1 + … に等しい一つの整数で表現できます。これを整数集合の2進数表現と呼ぶことにします。
  • 例:
    • { 2, 9, 4 } は 1 0000 1001₂ = 0x10b と表現できます。
    • { 10, 7, 14, 3 } は 0010 0010 0100 0100₂ = 0x2244 と表現できます。

• 異なる正整数集合の大小関係は、2進数表現の大小で定義することができます。
• 例:
  • 魔方列 { 5, 16, 2, 11 } は魔法列 { 12, 1, 15, 6 } よりも大きいと定義されます。なぜなら、それらの2進数表現は1000 0100 0001 0010 ( = 0x8412 ) と 0100 1000 0010 0001 ( = 0x4821 )であり、0x8412 > 0x4821だからです。

魔方列の各要素 x をすべて n² + 1 - x で置き換えてできる集合も魔方列になります。 このようにしてできる魔方列を元の魔法列の 補列(complement)と呼びます。

• 4次における例:
  • { 12, 1, 15, 6 } は { 5, 16, 2, 11 } の補列です。
  • { 7, 10, 3, 14 } は自分自身の補列です。

2進数表現においては、補列は 2進数の逆順(bit reversal)で得られます。

• 4次の例:
  • 1000 0100 0001 0010 の補列は 0100 1000 0010 0001 です。

魔方陣のすべての行と列は魔方列です。ここで 代表魔方列 を 「魔方陣の行、列、行の補列、列の補列のうち、最大のもの」と定義します。なお、対角列は代表魔方列には関係しないことに注意してください。

例: 魔方陣

  16 12  1  5
   7  3 14 10
   9 13  4  8
   2  6 15 11

の代表魔法列は { 16, 13, 3, 2 } = 0x9006であり、これは3列目の補列です。

魔方陣をその代表魔方列によって小集合に分類します。この分類は魔方陣の回転、反転、M変換、相補変換のもとで不変な分類となります。